什麼是大衍筮法？《易經》五十蓍草的古代筮法演算法

1. 起源

大衍筮法（大衍法，Dà Yǎn Fǎ）是目前仍可考的《易經》最古老筮法，記載於《周易・繫辭傳》，約成書於戰國時期（西元前 300～200 年）。

《繫辭傳》原文：

大衍之數五十，其用四十有九。

拼音：

Dà yǎn zhī shù wǔshí, qí yòng sìshí yǒu jiǔ.

意為：

大衍之數為五十，實際操作時使用四十九。

另一段重要文字：

分而為二以象兩，掛一以象三，揲之以四以象四時，歸奇於扐以象閏。五歲再閏，故再扐而後掛。

這段文字完整描述了大衍筮法的核心流程。

2. 宇宙哲學的象徵

大衍筮法的每一個步驟，都對應著《易經》的宇宙觀。

五十根蓍草：象徵大衍之數，代表天地萬物的總體。
抽出一根不用：象徵太極（太極），代表未分化的本源。
使用四十九根：象徵萬物由太極而生。
分成兩束：象徵兩儀（陰陽、天地）。
取出一根：象徵三才（天地人）。
每四根一數：象徵四時（春、夏、秋、冬）。
保留餘數：象徵閏月。

因此，

整個起卦過程本身，就是《易經》宇宙觀的具體呈現。

3. 十八變流程（六爻 × 三變）

《易經》一卦共有六爻。

每一爻必須經過三次變化（三變）。

因此：

6 × 3 = 18 次操作

3.1 一次變化

每一次變化包含以下步驟：

取目前剩餘的蓍草（第一次為四十九根）。
任意分為左右兩束。
從右束取出一根，置於指間，象徵三才。
左束每四根一數，留下餘數。
右束亦每四根一數，留下餘數。
將所有餘數合計，即為本次移除的蓍草數。

3.2 每次可能出現的餘數

第一次變化：

第二次變化：

第三次變化：

3.3 求得一爻

三次變化後，

總共移除的蓍草數只可能為：

最後剩餘：

36 ÷ 4 = 9 → 老陽（動陽）
32 ÷ 4 = 8 → 少陰（靜陰）
28 ÷ 4 = 7 → 少陽（靜陽）
24 ÷ 4 = 6 → 老陰（動陰）

4. 機率分布並非平均

大衍筮法與三枚銅錢法最大的不同，

就在於其機率分布。

# 大衍筮法
probs = {
    6: 1/16,
    7: 5/16,
    8: 7/16,
    9: 3/16,
}

即：

| 爻 | 機率 | |----|------:| | 老陰（6） | 6.25% | | 少陽（7） | 31.25% | | 少陰（8） | 43.75% | | 老陽（9） | 18.75% |

相比之下，

三枚銅錢法：

coin_probs = {
    6: 1/8,
    7: 3/8,
    8: 3/8,
    9: 1/8,
}

即：

| 爻 | 機率 | |----|------:| | 老陰（6） | 12.5% | | 少陽（7） | 37.5% | | 少陰（8） | 37.5% | | 老陽（9） | 12.5% |

大衍筮法具有：

1：5：7：3

的分布，

因此少陰出現最頻繁，

反映了《易經》陰陽消長的思想。

5. 演算法實作

5.1 Python

import random

def yarrow_one_change $n_stalks$ :
    left = random.randint $1, n_stalks - 1$ 
    right = n_stalks - left

    right -= 1
    hand = 1

    left_rem = left % 4 or 4
    right_rem = right % 4 or 4

    return hand + left_rem + right_rem


def yarrow_one_line():
    stalks = 49

    for _ in range(3):
        stalks -= yarrow_one_change $stalks$ 

    return stalks // 4


def yarrow_hexagram():
    return [yarrow_one_line() for _ in range(6)]

5.2 JavaScript

function yarrowOneChange $nStalks$  {
  const left = Math.floor(Math.random() * (nStalks - 1)) + 1;
  let right = nStalks - left - 1;

  const leftRem = left % 4 || 4;
  const rightRem = right % 4 || 4;

  return 1 + leftRem + rightRem;
}

function yarrowOneLine() {
  let stalks = 49;

  for  $let i = 0; i &lt; 3; i++$  {
    stalks -= yarrowOneChange $stalks$ ;
  }

  return stalks / 4;
}

function yarrowHexagram() {
  return Array.from ${ length: 6 }, () =&gt; yarrowOneLine()$ ;
}

5.3 C

#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>
#include <time.h>

int yarrow_one_change $int n_stalks$  {
    int left = 1 + rand() %  $n_stalks - 1$ ;
    int right = n_stalks - left - 1;

    int left_rem = left % 4;
    if  $left_rem == 0$  left_rem = 4;

    int right_rem = right % 4;
    if  $right_rem == 0$  right_rem = 4;

    return 1 + left_rem + right_rem;
}

int yarrow_one_line $void$  {
    int stalks = 49;

    for  $int i = 0; i &lt; 3; i++$ 
        stalks -= yarrow_one_change $stalks$ ;

    return stalks / 4;
}

6. 與其他起卦方法比較

| 方法 | 特點 | |------|------| | 大衍筮法（蓍草法） | 五十根蓍草、十八變、機率不均，最具傳統性與儀式感。 | | 三枚銅錢法 | 每爻擲三枚銅錢，快速、容易操作，機率為 1:3:3:1。 | | 六枚銅錢法 | 一次擲六枚銅錢即可得到整卦，效率最高，但較少見於傳統文獻。 | | 梅花易數 | 由邵雍創立，以時間、數字、事件起卦，不需任何器具。 |

7. QuizzMan 中的大衍筮法

QuizzMan 的《易經》系統（lab.quizzman.com）實作了完整的大衍筮法，包含：

完整動畫模擬：呈現四十九根蓍草的分束、計數與三變流程，完整視覺化十八變。
密碼學安全亂數：使用 CSPRNG（如 crypto.getRandomValues()）產生隨機分束，而非 Math.random()。
機率驗證：經過百萬次以上模擬，結果符合理論分布（6.25%、31.25%、43.75%、18.75%）。
雙模式比較：可同時比較大衍筮法與三枚銅錢法，觀察兩者在動爻比例與機率分布上的差異。