易經起卦模擬演算法：CSPRNG、Markov Chain（馬可夫鏈）與 Entropy（熵）

從電腦科學角度解析

本文從電腦科學的角度，介紹易經起卦在電腦上的模擬方式，包括隨機來源、機率分布以及演算法模型。

1. 為什麼不用 Math.random()？

JavaScript 的 Math.random() 一般採用 PRNG（Pseudo-Random Number Generator，偽隨機數產生器）。

這類演算法速度快，但若已知初始種子（Seed），便有可能推測後續產生的數值。

對於易經起卦這類需要高度隨機性的應用，通常希望使用真正具有密碼學安全性的隨機來源，因此 Quizzman 採用 CSPRNG（Cryptographically Secure Pseudo-Random Number Generator，密碼學安全偽隨機數產生器）。

使用 Web Crypto API

const buf = new Uint8Array(1);
crypto.getRandomValues $buf$ ;
const coinFlip = buf[0] % 2;

crypto.getRandomValues() 直接由作業系統提供熵來源，因此比一般 PRNG 更適合需要公平隨機性的應用。

2. 三枚銅錢法：Binomial Distribution（二項分布）

三枚銅錢法每次擲出三枚銅錢。

每枚銅錢只有兩種結果：

正面（3）
反面（2）

三枚相加後，可能得到：

可視為 Binomial Distribution（二項分布） B(3, 0.5) 經過位移後得到的結果。

function throwThreeCoins() {
  const bytes = new Uint8Array(3);
  crypto.getRandomValues $bytes$ ;

  let sum = 0;

  for  $let i = 0; i &lt; 3; i++$  {
    sum +=  $bytes[i] % 2 === 0$  ? 3 : 2;
  }

  return sum;
}

其機率分布為：

| 結果 | 機率 | |------|------| | 6 | 1/8 | | 7 | 3/8 | | 8 | 3/8 | | 9 | 1/8 |

每一爻約具有 1.81 bit 的 Entropy（熵）。

3. 蓍草法：Markov Chain（馬可夫鏈）

蓍草法（蓍草起卦） 共需進行：

6 爻
每爻 3 變
共 18 次操作

由於每一次「變」的結果都會影響下一次操作，因此整個過程可視為 Markov Chain（馬可夫鏈）。

大衍法流程

從 49 根蓍草開始（去掉一根象徵太極）。
隨機分為左右兩組，象徵兩儀。
從右側取出一根，象徵三才中的「人」。
左右兩組各以四根為一組計數。
保留餘數。
合計餘數形成一次「變」。
重複三次得到一爻。
六爻共完成十八變。

由於每一步都依賴上一個狀態，因此可用 Markov Chain（馬可夫鏈） 描述整體流程。

蓍草法每爻約具有 1.87 bit 的熵，其分布較偏向陰爻，因此與三枚銅錢法不同。

4. 梅花易數：Deterministic Hashing（確定性雜湊）

與前兩種方法不同，梅花易數 不依靠隨機數。

它以時間或數字作為輸入，再經過固定公式產生卦象，因此屬於 Deterministic Hashing（確定性雜湊）。

例如：

upperTrigram = (year + month + day) % 8

lowerTrigram = (year + month + day + hour) % 8

movingLine = (year + month + day + hour) % 6

相同的輸入一定得到相同的卦象。

這是梅花易數的重要特性，而非程式錯誤。

依照邵雍的思想，真正重要的是「起念的時間」，因此相同時間得到相同結果符合其理論基礎。

5. 各種起卦演算法比較

| 方法 | 演算法 | 每爻熵 | 時間複雜度 | |------|---------|---------|------------| | 三枚銅錢 | Binomial Distribution（二項分布） | 約 1.81 bit | O(3) | | 蓍草法 | Markov Chain（馬可夫鏈） | 約 1.87 bit | O(18) | | 梅花（時間） | Deterministic Hashing（確定性雜湊） | 0 bit | O(1) | | 梅花（數字） | Deterministic Hashing（確定性雜湊） | 0 bit | O(1) | | 手動輸入六爻 | User Input（使用者輸入） | 不適用 | O(6) |

結論

從電腦科學的角度來看，易經起卦涉及許多有趣的演算法概念，包括：

CSPRNG（Cryptographically Secure Pseudo-Random Number Generator，密碼學安全偽隨機數產生器）
Entropy（熵）
Binomial Distribution（二項分布）
Markov Chain（馬可夫鏈）
Deterministic Hashing（確定性雜湊）

不同的傳統起卦方法，其背後都可以用現代資訊科學的數學模型來描述。Quizzman I-Ching Engine 正是利用這些模型，在保留傳統起卦流程的同時，以可驗證且可重現的方式於電腦上完成模擬。